lunes, 25 de marzo de 2013

ANGULOS CENTRALES Y ANGULOS INSCRITOS (SEGUNDO GRADO) apuntes

ANGULOS CENTRALES Y ANGULOS INCRITOS.
APUNTES.

Ángulo inscrito
En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo convexo que teniendo su vértice en una circunferencia, las semirrectas que constituyen sus lados son secantes o cuerdas de la misma.

Mientras que un ángulo central tiene una amplitud  igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior.
Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas ,  se intersecan en el interior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo. 

Demostración

Para entender la prueba, es útil dibujar un diagrama como los de las figuras.

Sean o el centro de un círculo, u y v dos puntos en la circunferencia, y w el otro extremo de la cuerda que pasa por u y o. Sea \theta la amplitud del arco comprendido entre las secantes \bar{uv} y \bar{uw}, y \alpha su ángulo inscrito.
El ángulo central \angle wov, también tiene amplitud \theta y es suplementario de \angle vou = \beta. Por lo tanto \theta + \beta = 180°.
Como el triángulo \triangle uvo tiene dos lados con longitud igual al radio (\bar{uo} y \bar{vo}), es isósceles, por lo que \angle uvo = \alpha. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que 2\alpha + \beta = 180, pero \beta = 180 - \theta, así que 2\alpha + 180 - \theta = 180, o lo que es equivalente, 2\alpha = \theta.
Por lo tanto, el ángulo inscrito \alpha tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior\theta\alpha = \frac{\theta}{2}

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Ángulo inscrito \alpha y arco \theta



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